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Einführung des Differentialquotienten
Für die Näherung der Tangentensteigung im Punkt P wird ein beliebiger Punkt S (S ? P) und die Sekantensteigung benötigt.
Die Steigung der Sekante durch die Punkte P (a|f(a) und S(x|f(x)) wird mithilfe des Steigungsdreiecks berechnet:
$ \frac{f(x)- f(a)}{x-a} $(1)
und heißt Differenzenquotient.
Um die Tangente in Punkt P durch die Sekante anzunähern, wird der Punkt S auf dem Graphen f in Richtung des Punktes P verschoben. Der Anstieg der Tangente im Punkt P ist dann der Grenzwert der Anstiege der Sekanten durch S und P.
Definition:
Der Grenzwert $ \lim\limits_{x \to a}\frac{f(x)- f(a)}{x-a}$ des Differenzenquotienten heißt Ableitung oder Differentialquotient oder lokale Änderungsrate der Funktion f an der Stelle a.
Man schreibt dafür f‘(a), Also: f‘(a) = $ \lim\limits_{x \to a}\frac{f(x)- f(a)}{x-a}$
Die Ableitung f‘(a) gibt den Anstieg der Tangente der Funktion im Punkt P(a|f(a)) an.
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